-'피보나치수열과 황금비' 주제로 수학 탐구보고서 작성하기
*레오나르도 다 빈치의 '인체비례도' [사진 출처=wikipedia]
[지난 기사]에서 낮은 내신 등급에도 불구하고, 학종으로 명문대에 합격하는 학생들의 비밀이 바로 '탐구보고서'에 있다는 것을 알아보았다. 오늘은 학생부 세특에서 학업역량을 돋보이게 할 수 있도록 '피보나치수열과 황금비'를 주제로 수학 탐구보고서를 작성하는 방법을 소개한다.
Chapter 1 | 피보나치수열과 황금비
[1강] 주제 선정 및 이유
Team A : 실생활 속의 황금비
수학 수업시간에 학교 수학 선생님께서 “나의 몸은 황금비로 이뤄져 있어!!”라는 말씀을 하셨다. 그게 어떤 의미인지 관심을 갖게 됐다. 그 계기로 우리는 황금비를 조사하면서 피보나치 수열과 황금비가 연관이 있다는 흥미로운 사실을 발견했다. 그리고 황금비가 적용된 여러 가지 사례들을 탐구하게 됐다.
Team B : 역사 속의 황금비
모자리나는 왜 아름다워 보이는가? 여기서 생긴 의문은 결국 황금비라는 비율에 있다는 사실에 도달하게 됐다. 우리는 황금비를 조사하면서 피보나치 수열과 황금비가 연관이 있다는 흥미로운 사실을 발견했다. 그리고 황금비가 적용된 여러 가지 사례들을 탐구하게 됐다.
[2강] 이론적 배경
Team A : 숫자로 설명하는 피보나치 수열
'1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …' 이것이 바로 피보나치 수열이다. 피보나치 수열은 이름 그대로 피보나치가 만들어낸 수열이다. 얼핏 보기에 아무 규칙이 없어 보이는 이 수열에는 비밀이 숨겨져 있다.
1+1=2, 1+2=3, 2+3=5 …
이탈리아의 수학자, 피보나치는 지중해 연안을 여행하다가 수학적 지식을 얻어 아라비아 숫자를 유럽에 전파하고 후세에는 산술과 대수의 기초를 마련했다고 한다.
Team B : 피보나치의 어원으로 설명하는 피보나치 수열
피사의 레오나르도로 널리 알려진 레오나르도 피보나치가 1202년 토끼의 번식을 언급하면서 이 수에 대하여 연구했다. 하지만, 피보나치가 최초로 연구한 것은 아니고 인도의 수학자가 최초란 기록이 남아있다.
기원전 450년 핑갈라가 쓴 책에서 최초로 이 패턴이 언급됐고 이후 인도의 수학자들이 이 수에 대해 연구한 흔적들이 발견됐다. 그 때문에 피보나치도 동방쪽에서 넘어온 정보를 접한 적이 있지 않았을까 생각하는 사람들도 있긴 하나 공식적인 연관성은 불명이다.
어찌됐든 서유럽에서 이 수열을 연구하고 체계화할 수 있는 업적을 세운 것은 피보나치였기 때문에 피보나치 수열이란 이름이 붙게 됐다. 다만 피보나치 수열이란 이름은 19세기가 돼서야 붙여졌다.
[3강] 피보나치 수열과 황금비
Team A : 황금비의 수학적 접근
*사진 출처=러닝폼
황금비(Golden Ratio)에 대해서 설명하는 이유는 위에서 설명한 피보나치 수열이 황금비와 밀접한 연관이 있기 때문이다. 황금비란 어떤 2가지 수 a, b의 비율이 그 합 'a+b'와 두 수 중 큰 수의 비율과 같도록 하는 비율이다. 이는 1.161803398.... : 1 로 나타내어지며 이를 황금비라고 한다.
더 직관적으로 이해하기 위해 두 선분 a, b가 있다고 해 보자. 이와 같이 황금비에 대해 비너스 조각상의 예시로 유클리드 ‘원론에서도 황금분할이라는 단어를 사용했음을 알려주고 있다. 그리고, 정확한 황금비율을 계산하는 식도 소개하고 있다.
Team B : 황금비의 심미적 접근
*사진 출처=러닝폼
사진 속 5가지 사각형들 중에서 가장 보기 좋은 사각형을 고르라면 몇 번을 고를까? 개인에 따라 차이가 있을 수 있지만 아마 대부분은 ④번 사각형을 골랐을 것이다.
독일의 심리학자 구스타프 페히너는 여러 모양의 사각형을 가지고 사람들에게 아름다운 사각형을 고르게 했다. 이 실험에서는 약 10개의 사각형을 가지고 조사를 했는데, 30% 넘는 사람이 ④번과 같은 사각형을 선택했다.
④번 사각형은 가로와 세로의 비가 21 대 34인 피보나치 수로 이루어진 사각형이다. 아름다움이 피보나치 수에서 발견되는 가장 큰 이유는 이웃하는 두 수 사이의 비에 있다.
피보나치 수열에서 연속하는 두 수의 비는 피보나치 수가 커질수록 1.618에 점점 가까워지는 것을 볼 수 있다. 이러한 비율을 가진 것들은 안정감이 있고 미적으로도 아름다워 보인다고 한다. 이러한 1 대 1.618의 비를 ‘황금비’라 부른다.
[4강] 자연속의 황금비
Team A : 자연속의 황금나선구조
*사진 출처=러닝폼
나선구조를 이루고 있는 여러 가지 자연 속에서 예시를 찾아보자. 우리의 은하계도 황금비 나선구조, 나선구조를 이루고 있는 태풍, 나선구조를 이루고 있는 장미 등
Team B : 자연속의 황금비
*사진 출처=러닝폼
해바라기 씨앗을 자세히 살펴보면 그 배열이 황금 각도로 구성됐다는 사실을 알 수 있다. 규칙성을 찾은 것도 놀랍지만, 규칙을 가지고 있다는 것은 놀랍도록 정교하다는 사실을 다시금 깨닫게 된다.
그림을 보면 해바라기 씨앗은 배열되는데 일종의 패턴이 있는 걸 확인할 수 있다. 이 중 3가지를 뽑아 각각 녹색, 파란색, 주황색으로 구분한 후 배열 회전 수를 확인해보면 이 패턴이 피보나치 수열인 것을 확인할 수 있습니다.
[5강-1] 실생활 속의 황금비
Team A : 실생활 속의 황금비를 이루는 물건들
*사진 출처=러닝폼
우리 생활에 밀접한 연관이 있는 신용카드와 웹페이지 구성도 황금비를 이루고 있다는 사실을 알게 됐다.
Team B : 로고 속에 숨겨진 황금비
*사진 출처=러닝폼
황금 사각형과 피보나치 수열, 황금 나선을 알고 나면 그림이 달라보인다. 기업 현대 로고와 신윤복의 미인도에도 황금비가 숨어있다는 사실!
[5강-2] 느낀점 및 결론
Team A : 실생활 속에서 황금비를 느낀점으로 풀어낸다
우리에게 미적 안정감을 주는 황금비. 본능이거나 우연이거나 자연 속에 존재하는 신비한 피보나치수열과 황금비를 조사하면서 매우 흥미로웠고, 수학이 이렇게 자연 속에 많이 녹아 있다는걸 깨닫게 됐다. 실생활 속에서도 황금비가 적용되는 많은 사례를 찾아보고, 미적의 아름다움을 나타내기위해 적용할 수 있음을 알게 됐다.
Team B : 역사속에서 찾을 수 있는 황금비를 느낀점으로 풀어낸다
우리에게 미적 안정감을 주는 황금비. 본능이거나 우연이거나 자연 속에 존재하는 신비한 피보나치수열과 황금비를 조사하면서 매우 흥미로웠고, 수학이 이렇게 자연 속에 많이 녹아 있다는걸 깨닫게 됐다. 역사속에도 수많은 화가와 건축가들이 황금비를 이용해 아름다움을 추구했다는 사실이 놀라웠다.
*자료 출처=러닝폼
[에듀진=문영훈 기자]
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